《常见曲线的极坐标方程》教学案例分析

金坛市第一中学 孙栋梁

《常见曲线的极坐标方程》是苏教版选修4-4中一节相对重要的内容，对这节课的学习有利于学生将常见曲线的极坐标方程与直角坐标方程比较，体会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.在2008年至2014年的高考中10年和12年考到直线和圆的极坐标方程，主要考察学生极坐标方程与直角坐标方程的互化能力，以及求圆的极坐标方程，这些也都是本节课所学的内容.

本节课承接上一课《曲线的极坐标方程的意义》，虽然求曲线的极坐标方程的基本步骤与直角坐标系中的一致，但学生运用这个步骤求曲线的极坐标方程的意识不强.因此，本节课的教学设想是在直线极坐标方程部分采用了特殊到一般的过程，让学生用求曲线极坐标方程的基本步骤逐步进行，帮助学生巩固前面所学的知识.而对圆的极坐标方程则采用一般到特殊的方式.这样做既可以从整体上把握常见曲线的极坐标方程，又可以节省教学的时间.

教学目标

知识与技能　　 　

1.进一步体会在极坐标系求曲线方程的基本方法；

2.理解极坐标系中直线、圆的方程；

3.掌握直角坐标与极坐标的互化.

过程与方法　　 　

1.经历特殊直线极坐标方程的推导过程，探求一般情形的直线极坐标方程；

2.运用类比的思想方法，探究圆的极坐标方程，和极坐标系下求动点的轨迹方程，感受用极坐标方程来研究动点的轨迹方程的便利.

情感、态度与价值观

1.了解曲线的多种表现形式，培养探究数学问题的兴趣和能力；

　　2.培养学生独立思考与合作交流的能力及严密的逻辑思维能力.

重点

能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程；

难点

利用正弦定理和余弦定理进行直线与圆的极坐标方程的推导.

教学过程

一、复习引入

1.求曲线极坐标方程的基本步骤：

①建 ②设 ③列 ④化 ⑤证(略)

2.写出下列直线的极坐标方程

【让学生从上一节课所学的知识出发，再次体验“建”、“设”、“列”、“化”、“证”这五个求曲线极坐标方程的基本步骤，突出列 的等量关系的关键是寻找已知边角关系的三角形.另外也要让学生体会到从直线的直角坐标方程转化为极坐标方程也是求极坐标方程的一种重要方法，这里体现了把不熟悉的问题转化为熟悉的，即化归与转化思想.】

问题1：若直线l过点 （ ），且直线l的倾斜角为α，求直线l的极坐标方程.

【学生W采用的是利用直线的直角坐标方程转化直线的极坐标方程，但由于遗漏了下标，导致没能推导出结果.而且在写出直角坐标方程 时也未能讨论斜率不存在的情形.关于这一点本人在课堂上虽然指出要分斜率存在和不存在两种类型讨论，但在最后推导出直线的极坐标方程后也未能把斜率不存在的情形进行验证，十分遗憾.】

【学生G采用正弦定理建立 的等量关系，因为没有指明在哪个三角形中使用正弦定理，所以叙述过程较乱，在这点上教师不仅要帮助学生理清正弦定理的等式，还要帮助学生认清为什么想到使用正弦定理，理由就是极坐标给出了边和角，而正弦定理和余弦定理正好能反映三角形中的边角关系.这对后面推导圆的极坐标方程有较强的引导作用.】

问题2：若圆心的坐标为 （ ），圆的半径为r，求圆的极坐标方程.

【学生L首先想到的是用圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，这符合我们转化的思想，值得肯定；其次在同学的提醒下想到用余弦定理建立 的等量关系】

二、建构数学

1.若直线l过点 ，且直线l的倾斜角为α，

则直线l的极坐标方程为

特别的：垂直于极轴的直线方程为___________

平行于极轴的直线方程为___________

过极点倾斜角为α的直线方程为_______________

2.若圆心的坐标为 （ ），圆的半径为r，

则圆的极坐标方程为

特别的：半径为r、圆心在极轴所在直线上，且过极点的圆方程为___________

半径为r、圆心在极垂线上，且过极点的圆的方程为___________

半径为r、圆心在极点的圆的方程为_______________

三、典型例题

例1. 按下列条件写出直线的极坐标方程

（1） 经过极点和点 的直线；

（2） 经过点 ，且垂直于极轴的直线；

（3） 经过点 ，且平行于极轴的直线；

（4） 经过点 ，且倾斜角为 的直线。

例2.按下列条件写出圆的极坐标方程

（1） 以点 为圆心，且过极点的圆；

（2） 以 为圆心，且过极点的圆；

（3） 以极点O与点 连接的线段为直径的圆；

（4） 圆心在极轴上，且过极点与点 的圆；

（5） 圆心为 ，半径为3的圆.

【值得一提的是，由于直线和圆的极坐标方程的一般形式是不需要记忆的，所以例1、例2的本意不是让学生背公式然后套公式，而是针对高考中常考的特殊直线和圆进行训练，让学生再次感受直角坐标与极坐标的互化.】

例3. 在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中， 求过极点O的弦的中点的轨迹。

变式：在极坐标系中，已知圆C的圆心C ，半径为3

(1) 求圆C的极坐标方程；

(2) 若Q点在圆C上运动，P在QO的延长线上，且OQ：OP=3：2，求动点P的轨迹方程.

【例3及变式和直角坐标系中求曲线的方程是同种类型的问题，主要的方法是“转移代入法”.可以让学生在做题的过程中体会在用极坐标寻找从动点和主动点坐标之间关系时的便利，突出研究极坐标方程的意义.】

例4.（1）在极坐标系中，已知圆 ，与直线 相切，求实数a的值.

（2）在极坐标系中，已知圆C经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.

【通过2010年和2012年的两道高考题，让学生认识到极坐标方程的重要性，体会高考中考察的极坐标方程问题的一种重要处理方法----将极坐标方程的问题转化为直角坐标方程；以及把直角坐标系中用方程组求曲线的交点的方法迁移到极坐标中.】

四、巩固练习

练习1：极坐标方程分别是 和 的两个圆的圆心距是多少?

练习2：在极坐标系中，已知两曲线C₁： 和C₂：ρ＝4cosθ有公共点，求实数m的取值范围.

五、回顾反思

【主要让学生回顾这节课所学的内容，教师作一些补充，包括①极坐标系中常常利用正弦定理、余弦定理来建立 的等量关系；②直线和圆的极坐标方程及其特殊情形；③求直线和圆的极坐标方程的常用方法④直角坐标方程与极坐标方程之间的互化.】

教学反思

课堂上的教学是按照先完成直线的极坐标方程，然后验证垂直于极轴、平行于极轴和过极点的三种特殊的直线也符合方程，最后解决例一的几个小题，结束后再进行圆的极坐标方程的教学.整个过程有重复，浪费时间.如果在开头的直线的三种特殊情况下点明寻找 的等量关系就是寻找三角形，那么对于直线和圆一般情形的极坐标方程的推导就可以让学生上黑板板演，这样可以让学生更多地参与到课堂中来.然后通过例1、例2突出特殊的直线和圆的极坐标方程的写法，似乎要更好些.

另外，没能正确地认识学生现有的知识水平，认为他们能较快的接受新知识，在课堂的教学之前没能给学生时间进行预习，导致课堂上的处理例题1时间较多，个别学生对特殊的直线方程还不熟悉.导致后面处理圆的极坐标方程的时间较少，整个教学任务未能完成.在今后的教学中要多学用一些新的教学模式，多给学生一些预习和思考的时间，多给学生一些表达的机会，让学生真正成为学习的主体.

最后，感谢谭校的名师工作室给我一次锻炼和学习的机会，也感谢老师们的精彩点评！