函数问题 —— 注意理解与构思例1 若函数 （k为常数）在定义域上是奇函数，则k  _____．教师导言：如何解最快？……；能保证你的答案没问题吗？……；解答题怎样做？……（预期回答：1．f(0)  0，2．f(0)可能无意义．3．检验或一般性推导） 例2 若函数 是偶函数，则实数 的值为 ___．问学生如何思考的？要点：（1）方法——定义域关于原点对称；（2）检验了吗？ ——“方法选择，反思结论”是保证解题快而对的重要工作． 例3 函数 在（1，）上是单调减函数，则实数a的取值范围是_________．教师导言：1．（几何法）会画它的图象吗？（“两横两竖”法，或“两线两点”法）； 2．（代数法）会用带余除法把它化为反比例函数形式吗？（即去掉分子中的变量）……，两种方法画示意图……（1．在坐标系中画图；2．画结构图，再画x   1）．3．答案是5  a  1吗？（5  a≤1）． ——画函数图象，“以形助数”是降难的重要方法． 例4 已知函数 的区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是_________． 教师导言：1．问最容易出错的是什么？（定义域）；2． 中，列什么式子？ 练习：已知函数 的区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是_________．（抓住问题的本质进行列式训练是提高复习质量的有效措施） 例5 在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y  x3  1上的一个动点，以点P为切点作切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为 ．教师导言：切数问题的程序化工作：（1）设切点；（2）求导数；（3）得斜率；（4）写方程；（5）代入点．设切点为（x0，x03  1），则△AOB的面积 ，如何求最小值？……，再求导吗？（ ，令 ——提取“问题的心脏”是关键！） 例6 已知函数 的图象有对称中心，则实数a __________． 教师导言：除微观解题法，还要学会宏观解法：两条分界线的外侧是两段抛物线，内侧是线段．……，其线段中点是两个抛物线对称轴的一个对称中心．——分类讨论法要学会初分与细分． 例7 若函数f(x)为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b] D（其中a  b），使得当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．如果函数g(x)  x2  m是（，0）上的正函数，则实数m的取值范围是_______． 教师导言：1．单调减是核心，则 相减得a + b = 1．则 ． 2．问以下解题中要注意什么？（一是方法，用分离法优于用二次方程法，二是a的取值范围是准确）． 变题：g(x)  x2  1是（，）上的正函数，且等域区间为[a，b]，则a  b  _____． 例8 已知 ，函数 ． （1）当a  2时，求使 成立的x的集合； （2）求函数 在区间[1，2]上的最小值． 对第（2）问，1．会画示意图吗？2．对a分类还是对x分类？3．分类中的分类——二级分类问题。例9 求实数a的取值范围，使对任意实数x和任意 ∈[0， ]，恒有 ． 教师导言：1．首先能意识到 的最小值为？（宏观认识） 2．对一切x ，原式左边的最小值为 ，以下是再求出关于θ的最小值？还是用不等式恒成立来书写？——用什么方式呈现是高考中取胜的重要环节，理性解题是一种素养，也是一种能力，在二轮复习中教师当讲则讲，要讲出质量，帮助学生跨上高一节的台阶，要培养学生构思的能力． 3． 对一切 ∈[0， ]恒成立，以下注意什么？（1）换元；（2）范围．…… ——函数问题较多，函数模型一般有十种左右，问题有多种形式，但主要还是围绕定义域（应用中），值域与最值（主要问题），单调性（也应用于不等式恒成立等之中），对称性（奇偶性及一般对称性），要作适当训练，以提升学生的思维能力．其中画示意图能力应在高中教学中逐步培养。 数列问题 —— 注意方法的选择 解决数列问题，宏观上说两种方法，一是用公式求解（主要是计算），二是用性质巧解．例10 在首项为a，公比为q的等比数列中，设其前 项和为 ，若 ， ，则x  y  _________． 关键能意识到什么？ 例11 等差数列{an}的公差为1，若Sn ≥S8 对一切 恒成立，则首项a1的取值范围是 ．思路分叉点问题，什么方法最好？（1）写出Sn 的表达式？——繁！（2）画图？用对称轴解？——不保险，易错！（3）转化为项？——简单易行！当且仅当S7 ≥S8，且S9 ≥S8 成立．写成差！化为项！得a8≤0，且a9≥0，…… ——合理构思更重要！ 例12 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6  150，则d的取值范围是____________． 例13 已知数列{an}为等差数列，若 ，则数列{|an|}的最小项是第_____项． 例14 已知等比数列{an}中， ，则使不等式 成立的最大自然数n是 ．看比算好！ 例15 等比数列{an}的前n项的和为 ，且 成等差数列，则{an}的公比为______． 例16 设 是等差数列 的前 项和，已知 则 . 例17 （07江苏省竞赛初赛）已知数列 中， ， ， . 求 ． 例18 已知数列 满足 ，则 的值为_______. 例19 等差数列{an}公差为2，等比数列{bn}首项为1，公比为2，若集合 的元素个数恰有2个，则等差数列{an}的首项a1的取值范围是 ． —— 要加强数列问题的填空训练，培养学生的思维能力． 例20 已知数列{dm}的通项公式为dm  2m  1。将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…(每组数的个数构成等差数列)．设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0) ．（1）求数列 { 2Cndn } 的前n项和Sn；（2）设N是不超过20的正整数，当n > N时，对于（1）中的Sn，求使得不等式 (Sn－6) > dn 成立的所有N取值的个数． 要点点拨：问几个问题： 1）前m组共多少个数？—— m2个数； 2）1，3，5，……的前n项和为？—— n2； 3）前m组的和为？—— n4 ； 4）Sn 是等比数列配等差系数求和，用什么方法？结果多少？ —— 错位相减法，Sn （2n  3）2n1  6； 5）第（2）题中的不等式即 （2n  3）2n1 > 2n  1，如何找到满足它的整数解？—— 改写成什么式子？常用几种思考方法？（比较相邻项法，或用函数的单调性法）； 6）你认为用以下哪个式子好？ ①（2n  3）2n > 25（2n  1）？ ② bn （2n  3）2n  25（2n  1）? ③ ? (???) ④ （*）？★★★ 7）用什么方法? …… n  6上式开始成立， （板书）当n≥6时，（*）左边≥64，右边≤ ，则（*）成立。 8）结果怎样？N可取哪些数？——（共16个数）。 例21 已知数列{an}，{bn}满足bn  an＋1  an，其中n  1，2，3，…．（1）若a1  1，bn  n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn＋1bn－1  bn (n≥2)，且b1  1，b2  2．记cn  a6n－1(n≥1)， 求证：数列{cn}为等差数列． 例22 已知数列{an}的通项公式为an  2n 1（ ），设数列{bn}的通项公式为 ，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（ ）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．要让学生在“忐忑不安”的心理中做一会儿，…… ， ， ， ， ∵b1，b2，bm成等差数列，∴ ．以下怎样做？——要让学生尝试两分钟后，老师点拨：变量分离， ，以下会吗？ 例23 已知数列{an}满足a1  2，前n项和为Sn， （1）若数列{bn}满足bn  a2n  a2n1，试求数列{bn}的前n项和Tn；（2）若数列{cn}满足cn  a2n，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由；（3）当p  ，问是否存在n∈N*，使得 ，若存在，求出所有的n值；若不存在，请说明理由．解题心理分析：数列——首先要“列”：（1）a1  2，a2  2p，a3  2p  4，a4  2p2  4p  2，a5  2p2  4p  10，…… 发现a2  a3为一组（定值），a4  a5为一组（定值），——关键用下式．想到在下式中，依次令n  2，4，6，…… ——产生结论． Tn  a2  a3  a4  a5  …  a2n  a2n1  2（2  4  …  2n） 2n(n1) ．（2）令n  2k1，k∈N*（—— 换个字母书写很重要），得a2k2  p a2k1  2k．令n  2k，得a2k1   a2k  4k． ∴a2k2  p ( a2k  4k )  2k，即a2k2  p a2k  2(2p  1) k． ∴ck1  p ck  2(2p  1) k． “数列{cn}是等比数列”如何思考？—— 思维的分叉点！一般结构： 若an1  pan bn，a1  a，数列{an}是等比数列，bn  ? ① 两边除以an，直接得bn  0 —— 错误的思维！ ② 令n  1，2，3，由前几项研究b1，b2，b3，……，推出结论 —— 繁！ ③ 直接用数列{an}是等比数列，反表示出bn．将an  a1qn1代入，得a1qn  p •a1qn1  bn， ∴bn  (q  p) •a1qn1．由此可见，数列{bn}是每项均为0的常数数列，或公比仍为q的等比数列．—— 简单！ 例24 设M为部分正整数组成的集合，数列 的首项 ，前n项和为 ，已知对任意整数k∈M，当n > k时， 都成立． （1）设M = {1}， ，求 的值； （2）设M = {3，4}，求数列 的通项公式． 2011年江苏省高考数列题的背景（辗转相除思想）与本质（递推数列问题）： an，an4，an8，…，成等差数列（以下 ）， 即an，an4，an8，an12，…，成等差数列．—— 相隔（足标相差）4个数“等距”． an，an3，an6，…，成等差数列， 即an，an3，an6，an9，an12，…，成等差数列．—— 相隔（足标相差）3个数“等距”． ∴an  an12  an4  an8  2an6． 则an4，an6，an8，…，成等差数列．—— 相隔（足标相差）2个数“等距” 即an6，an8，an10，an12，…，成等差数列． ∴an6  an12  an8  an10  2an9． 则an8，an9，an10，…，成等差数列（设公差为d）．—— 相隔（足标相差）1个数“等距” ∵an，an8，an16，…，成等差数列，即an  2an8  an16， an1，an9，an17，…，成等差数列，即an1  2an9  an17， —— 选相隔（足标相差）相对较大的3个数“等距”，其中后两个足标较大（满足成等差）： ∴an1  an  (2an9  an17)  ( 2an8  an16 )  d．即数列{an}是等差数列． 解析几何问题 —— 合理算法是关键 “能形则形，不形则数”．例25 点M是椭圆 上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________． 例26 （11高考题18）如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k = 2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k > 0，求证：PA⊥PB． （3）中，用k参数法，思维单一，运算非常大；用多参数法，思维要求高，运算轻巧． 用多参数的设而不求：设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（x1，y1），C（x1，0）． ∵A，B，C三点共线，∴ ． ∴ ．则PA⊥PB． 或先证 ，再用它解题也是最好的方法． —— 椭圆过中心的弦性质。 例27 （11届考前指导题）已知椭圆G： 过点A（0，5）， B（8，3），C，D在椭圆G上，直线CD过坐标原点O，且在线段AB的右下侧．求：（1）椭圆G的方程；（2）四边形ABCD的面积的最大值． （2）中，对四边形ABCD的面积有哪些认识方法？（分割方法） 例28 椭圆C： 的左，右顶点为A，B，点P在直线x  t（t为常数）上，线段AP与椭圆C交于点Q（异于点A），设以PQ为直径的圆交直线BQ于点M（异于点Q），问直线PM是否恒过一个定点？思路：A，P →AP，交椭圆C，→ Q，结合P，→ 写圆，交直线BQ ，→ M，结合P，→ 写直线方程PM，→ 恒过定点？合理思路：设Q，→ 由AQ得P，由kBQ 得kPM，→ 写直线方程PM，→ 恒过定点？ 轨迹的一般问题：距离和为定值；距离差为定值；距离平方和为定值；距离平方差为定值；距离积为定值；距离比为定值；例29 已知圆O的方程为x2  y2  r2（r为正的常数），设P（m，n）为平面内的一个定点，求证：存在定点Q，使得对圆O上的任意一点M，均有 为定值． 解：设Q（x0，y0），由 ，得MP   MQ． ∴ ．即 ． ∴  0对圆O上的一切点M（x，y）恒成立． ∴ 即 三角问题——重点是三角形问题（正、余弦定理）例30 △ABC中，a  5，b  4，cos (A  B)  ，则cosC  __________． （盲点问题，学生一下子没有思路，让学生做一分钟后）教师导言：除展开cos (A  B)外，你想到了构造吗？（作出AB），再给学生做一分钟！教师再给学生一种方法（有一定的“万能性”——分割成直角三角形，……）． 例31 在△ABC中，cosC  ，b  2，c  ，则cosB  __________． 教师导言：一解还是两解？用“A30°，b  4，a  1，2，3，4，5”讲解，从图形直观上认识三角形的多解性．再用“正弦定理，大边对大角”，总结出“角的对边小，一般是两解”．例32 在△ABC中，cos2C  ，a  2，c  4，则b  __________． 教师导言：一解还是两解？（边c大，角C大，sin2C  ，sinC  ，C是什么角？（锐角？钝角？）——两者都可能．若改：cos2C  ，则2C120°，或240°，即C60°或120°，均能作出这样的图——类比验证法． 例33 在△ABC中，b  2c，设角A的平分线长为m，m  kc，则k 的取值范围是______． 关于三角问题，可把一些解答题的第二问改为填空题，让学生会做是根本！近几年高考中三角填空题有一定难度，有适当加以训练． 向量问题 —— 重点是分解与数量积 向量的数量积问题常用四种方法：（1）定义法；（2）几何法；（3）代数法；（4）坐标法．例34 如图，AB⊥AC， ，AC = 2，则 = ． 例35 点P为单位圆O外的一点，PA，PB为圆O的两条切线，则 的最小值为 ． 例36 在△ABC中，已知BC  2， = 1，则△ABC面积的最大值为 ． 例37 在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则 的最小值为 ▲ ． 方法一：设AB  1，∠BAP  （0≤≤90），则 ，由条件得    f()  ．由  0，得f()是 的增函数，∴当  0 时，   取得最小值为 ．方法二：（几何法） ∴    ．…… 例38 已知平面向量 、 满足 ， ，设向量 ，则 的最小值是 ． 不等式问题 —— 重点在恒成立的理解，基本不等式的应用 例39 已知 ， ，若对于 x1，x2∈[2，2]，均有f(x1) > g(x2)，则实数a的取值范围是__________． “ 使f(x1) > g(x2)”如何理解？ “ 使f(x1) > g(x2)”如何理解？生活举例：对于一班中任何一个学生，在二班中存在一个学生，前者比后者个子高．列表： f(x1) > g(x2) 图示 f 小  g 大 f小  g小 f大  g大 f大  g小 语言总结：大存在，找最大；小存在，找最小；大任意，找最小；小任意，找最大． 对比方程问题例40 已知函数 ， ， ， 成立，则实数 的取值范围是 ．示意说明解题想法．（夸张的说法：最好g(x)的值域为R） 例41 已知函数 （1）若 ，解关于 的不等式 ；（2）若对 ，都有 是常数），求 的取值范围．培养分类讨论的能力． 一些基本不等式问题：例42 已知a，b  0且a  b  1，求证： ． 例43 若0  x  1，求证： ≥(a  b)2． 例44 已知正实数x，y，z满足 ，则 的最小值为____． 例45 已知x，y，z为正实数，则 的最大值为________． 例46 已知实数x，y，z满足x + y + z = 1，x2 + y2 + z2 = 3，则xyz的最大值为________．（三个变量，两个方程……）以上问题如何讲得清楚、讲出思路、讲出解题方向是关键！ 应用问题 —— 重点在函数模型，几何模型，三角模型 例47 如图，两个工厂A，B相距2 km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2 km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB．据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为x km．（1）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系，并求出该函数的定义域；（2）当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？ 例48 如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为 m， m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 ， ．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)． (1) 用x的代数式表示AM；（2）求S关于x的函数关系式，并写出该函数的定义域；（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？